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作者：Leila Sloman

機(jī)器之心編譯

編輯：陳萍

數(shù)學(xué)家解決了一個(gè)重要問(wèn)題，即多項(xiàng)式方程的解如何與稱為志村變體的復(fù)雜幾何對(duì)象相關(guān)聯(lián)。

在數(shù)學(xué)中，「安德烈 - 奧爾特猜想」是丟番圖幾何（數(shù)論的一個(gè)分支）中的一個(gè)懸而未決的問(wèn)題，它建立在 Manin-Mumford 猜想中的思想之上，該猜想現(xiàn)在是一個(gè)定理。

在去年發(fā)表的一篇論文（《Canonical Heights on Shimura Varieties and the André-Oort Conjecture》）中，來(lái)自牛津大學(xué)的 Jonathan Pila、威斯康星大學(xué)的 Ananth Shankar 和多倫多大學(xué)的 Jacob Tsimerman 三位數(shù)學(xué)家解決了一個(gè) 30 年前「安德烈 - 奧爾特猜想」問(wèn)題，這項(xiàng)證明同時(shí)也推進(jìn)了研究者對(duì)多項(xiàng)式方程解的探索。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2109.08788.pdf

倫敦大學(xué)學(xué)院的 Andrei Yafaev 表示：用來(lái)處理「安德烈 - 奧爾特猜想」的方法覆蓋了整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

論文從數(shù)學(xué)中最基本但最引人入勝的問(wèn)題開(kāi)始：例如多項(xiàng)式 x^3 + y^3 = z^3 什么時(shí)候有整數(shù)解（正數(shù)和負(fù)數(shù)的解）？1994 年，安德魯?懷爾斯（Andrew Wiles）給出了這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)解決方案，證明了數(shù)論中歷史悠久的費(fèi)馬大定理，這是 20 世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一，安德魯?懷爾斯并由此在 1998 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上獲得了國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟特別制作的菲爾茲獎(jiǎng)銀質(zhì)獎(jiǎng)?wù)乱约?2016 年的阿貝爾獎(jiǎng)。

在尋求解決費(fèi)馬大定理和類似問(wèn)題的過(guò)程中，眾多數(shù)學(xué)家發(fā)展出越來(lái)越抽象的理論，這些理論引發(fā)了新的問(wèn)題和猜想。

例如法國(guó)數(shù)學(xué)家 Yves André 于 1989 年提出了該猜想的原型版本，荷蘭數(shù)學(xué)家 Frans Oort 于 1995 年提出了更一般的猜想?，F(xiàn)代版本是這兩個(gè)猜想的自然概括?！赴驳铝?- 奧爾特猜想」不是尋找多項(xiàng)式方程的整數(shù)解，而是關(guān)于涉及更復(fù)雜的幾何對(duì)象的解，稱為志村簇 (Shimura variety)。

2014 年，Yafaev 和柏林洪堡大學(xué)教授 Bruno Klingler 證明了這一點(diǎn)，取得了成功。他們的結(jié)果取決于黎曼假設(shè)的正確性 —— 但這個(gè)著名的難題仍未解決。而新論文通過(guò)明確的解決方案解決了這一差距。

安德烈 - 奧爾特猜想

安德烈 - 奧爾特猜想是關(guān)于代數(shù)簇的，從最基本的層面上來(lái)說(shuō)，它只是一個(gè)多項(xiàng)式方程的所有解的集合。其存在很多變體：

半徑為 1 的圓是一個(gè)變體：其點(diǎn)的坐標(biāo)是多項(xiàng)式 x^2 + y^2 = 1 的解。直線 y = 0 也是一個(gè)變體。而這兩者的交集 —— 點(diǎn) (1, 0) 和 (-1, 0)—— 又是嵌套在前兩者中的第三種變體。

「安德烈 - 奧爾特猜想」的核心變體是志村簇。雖然志村簇有幾種不同類型的變體，但最簡(jiǎn)單的變體與橢圓曲線相關(guān)（如 y^2 = x^3 + 1 或 y^2 = x^3 + 3x + 2）。此外， 還有更復(fù)雜的志村變體，其結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。

「安德烈 - 奧爾特猜想」就是這樣一個(gè)問(wèn)題：志村變體的基本結(jié)構(gòu)是什么，其本身就是許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

有趣的是變體可以存在于變體中，就像一條線和一個(gè)圓的相交會(huì)創(chuàng)建一個(gè)新的子變體。

多倫多大學(xué) Jacob Tsimerman

安德烈 - 奧爾特猜想在蝕刻曲線（etched curve）不是志村變體的情況下做出預(yù)測(cè)。然后，它可能遇到的特殊點(diǎn)的數(shù)量有一個(gè)上限。數(shù)學(xué)家一直在努力驗(yàn)證安德烈 - 奧爾特猜想的上限。在 2000 年代末，澳大利亞數(shù)學(xué)家 Jonathan Pila 在引入一種計(jì)算特殊點(diǎn)數(shù)的新方法時(shí)，取得了重大進(jìn)展。

為了證明「安德烈 - 奧爾特猜想」，Pila 首先要做的是了解其中一個(gè)變體上特殊點(diǎn)的數(shù)量。他通過(guò)給點(diǎn)分配一個(gè)稱為「高度，height」的量來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。高度用來(lái)衡量一個(gè)特定點(diǎn)或值的復(fù)雜程度。例如數(shù)字 10 和 10.000017，一方面，這兩個(gè)數(shù)字非常相似，但另一方面，它們顯然不同。

「這兩個(gè)都是有理數(shù)，它們大小接近，但復(fù)雜程度不同?！筍hankar 表示。

量化這種復(fù)雜性的一種方法是將這些數(shù)字轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)化的分?jǐn)?shù)。數(shù)字的高度是該分?jǐn)?shù)的分子或分母的絕對(duì)值 —— 以較大者為準(zhǔn)。作為分?jǐn)?shù)，數(shù)字 10 與 10/1 相同，因此 10 的高度為 10。但將 10.000017 重寫(xiě)為分?jǐn)?shù)的最簡(jiǎn)單方法是 10000017/ 1000000，它的高度約為 1000 萬(wàn)。此外還有其他測(cè)量高度的方法。

為了證明「安德烈 - 奧爾特猜想」，Pila 需要證明志村變體中的非志村變體有沒(méi)有很多特殊點(diǎn)。高度是執(zhí)行此操作的有用工具。

牛津大學(xué) Jonathan Pila

我們以高度最多為 2 的有理數(shù)來(lái)說(shuō)，即使有無(wú)數(shù)個(gè)絕對(duì)值為 2 或小于 2 的有理數(shù)，但其中只有 7 個(gè)簡(jiǎn)單的、高度為 2 或以下的有理數(shù)：0 , 1，1/2，2 或它們的負(fù)數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，如果你能證明一組有理數(shù)的高度有一個(gè)上限，那么你就證明了這個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)是有限的。

這樣，高度與絕對(duì)值有很大的不同。Pila 利用這種差異，用不同的實(shí)數(shù)識(shí)別志村變體上的每個(gè)特殊點(diǎn)。然后他證明了這些相關(guān)的實(shí)數(shù)并不復(fù)雜 —— 它們的高度不會(huì)太大。這意味著與特殊點(diǎn)相關(guān)的實(shí)數(shù)是有限的。由于每個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的實(shí)數(shù)，因此也只能有有限數(shù)量的特殊點(diǎn)。

Pila 的方法巧妙地避免了計(jì)算志村變體本身的高度。相反，他研究了實(shí)數(shù)的高度并將實(shí)數(shù)與志村變體聯(lián)系起來(lái)。但這種策略只適用于非常簡(jiǎn)單的志村變體。

為了證明所有志村變體的「安德烈 - 奧爾特猜想」，Pila 和其他人需要想出一種直接測(cè)量高度的方法。

當(dāng) Pila 在「安德烈 - 奧爾特猜想」上取得令人興奮的新進(jìn)展時(shí)，當(dāng)時(shí)還是普林斯頓大學(xué)研究生的 Tsimerman， 在他導(dǎo)師 Peter Sarnak 的建議下，他開(kāi)始著手解決這個(gè)問(wèn)題。Pila 也是 Sarnak 的學(xué)生，當(dāng)他 2009 年回到普林斯頓分享他的新發(fā)現(xiàn)時(shí)，他和 Tsimerman 一拍即合。

威斯康星大學(xué) Ananth Shankar

Pila、Shankar 和 Tsimerman 于去年發(fā)表了這篇論文。他們證明，如果不是志村變體本身，任何存在于志村變體中的其他變體都不能有太多的特殊點(diǎn)。

驗(yàn)證論文需要時(shí)間，但數(shù)學(xué)家們已經(jīng)在反思它的影響。有研究者表示這絕對(duì)是一個(gè)突破。

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-30-year-old-andre-oort-conjecture-20220203/

原標(biāo)題：《數(shù)學(xué)家證明30年前的「安德烈-奧爾特猜想」，推進(jìn)多項(xiàng)式方程解探索》

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