這門復雜性科學有個別致的名稱——混沌丨陳關榮

2022-11-21 17:59

來源：澎湃新聞·澎湃號·湃客

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原創(chuàng) 陳關榮集智俱樂部

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本文介紹“混沌”的概念并回顧它的歷史、縱觀它的發(fā)展以及展望它的前景。混沌的概念可以追溯到遠古，而現(xiàn)代科學中的混沌理論則是從上世紀六十年代氣象學家愛德華·洛倫茨在天氣預測研究中發(fā)現(xiàn)“蝴蝶效應”開始的。它經歷了許多科學家特別是數(shù)學家李天巖和詹姆斯·約克的“周期三意味著混沌”理論研究和生物學家羅伯特·梅對生態(tài)系統(tǒng)的復雜性研究。今天，混沌的科學理論日趨成熟，并在信息隱藏和流體混合等工程技術中顯示出有特色的應用潛力。

陳關榮 | 作者

鄧一雪 | 編輯

大家都知道“混沌”這個名詞，在生活中它指雜亂無章的行為和現(xiàn)象，但在科學里它是一個非常不一般而且含義很深刻的術語。

“混沌”，從字面上不好揣測其科學含義，但換一個說法“蝴蝶效應”就容易理解多了，說的是一只蝴蝶拍一下翅膀可能會引起一場龍卷風。

真有那么神奇嗎？當然不。但這個比喻的寓意是清晰的：一個微小的初始改變可能會引起巨大的后果。這方面大家經驗就多了，不是有“差若毫厘，謬以千里”的說法么？那早已是孔子年代《禮記·經解》里的《易》中說的了，彰顯中華民族文化哲理的源遠流長、博大精深。

不過，“蝴蝶效應”來到現(xiàn)代科學領域，卻只是半個世紀之前的事。

一、“混沌”科學的發(fā)端

今天，“蝴蝶效應”被人們當作成語使用。它來自已故麻省理工學院（MIT）氣象學教授愛德華·洛倫茨（Edward Norton Lorenz，1917 年5 月23 日— 2008 年4 月16 日，圖1）。

圖1 洛倫茨（ Edward N. Lorenz）

故事發(fā)生在1963年。一天，洛倫茨教授如常來到了辦公室，用他推導出來的數(shù)學方程組做天氣預報的數(shù)值仿真。當時，他計劃把昨天的仿真重復一遍，以保證計算結果準確無誤。但是，新的仿真結果讓他大吃一驚，畫出來的曲線與昨天的記錄大相徑庭：兩條曲線從相同的初始點出發(fā)，在起初幾周時間點上的預報相互吻合得很好，但隨后兩者迅速分離，大約兩個月后便變得毫不相關了。咦，數(shù)學計算公式寫錯了？計算機程序抄錯了？計算機壞了？他反復檢查后，發(fā)現(xiàn)這些都沒有任何錯謬。奇怪呀，這可讓他百思莫解了。

洛倫茨是個嚴謹認真的科學家。他反復核查、尋蹤覓跡，最后發(fā)現(xiàn)了兩次仿真過程之間的一個微小差異。當年的計算機運算精確度只到達小數(shù)點后6 位數(shù)字，因此他在昨天的計算中輸入了初始值0.506127。但今天他偷懶，輸入0.506就算了。這不到千分之一的四舍五入沒啥事吧？不！現(xiàn)在他發(fā)現(xiàn)自己錯了，這影響其實很大。于是，在隨后的幾天里，洛倫茨一再驗算了使用多種略微不同初始值的仿真，終于證實了他悟出的道理：由于這個天氣預測數(shù)學模型對初始值具有高度敏感性，一個微小的初始誤差在反復迭代計算之后釀成巨大的結果差異，導致了該模型估算未來天氣行為的不可預測性。圖2解釋了洛倫茨當時的仿真結果：兩條起始鄰近的曲線開始時并排向前移動，但慢慢便分道揚鑣了。

圖2 紅色和藍色是洛倫茨天氣數(shù)學模型兩個不同解的軌跡，黑點為初始值。

洛倫茨以此為題材發(fā)表了一篇論文，指出：“兩個狀態(tài)之間不被察覺的微小差別可能最后演化為巨大的不同……因此，如果在觀察當前狀態(tài)時不管有什么樣的誤差——在任何真實系統(tǒng)中這些誤差是不可避免的——那么對于一個不太久遠的未來瞬間狀態(tài)做出任何可接受的預測都將是不可能的……非常長期的準確天氣預報看來并不存在。”當年洛倫茨估算，準確的天氣預報最多在兩周時間之內還是可以做到的，再長時間就不保證了。今天，由于有高速計算機和大數(shù)據(jù)支持，這個時間段延長了，不過也達不到三周。這方面大家都有體會：誰能說得清，明年的今天會是什么樣的天氣呢。

后來，為了向公眾解釋這種特別的現(xiàn)象，洛倫茨在1972 年把一篇科普文章取題為：“在巴西的一只蝴蝶拍打一下翅膀會在得克薩斯州引發(fā)一場龍卷風嗎？”這里題意自明。從此之后，在各種各樣的科學文獻、文學作品和人們日常生活里便出現(xiàn)了一個新成語：“蝴蝶效應”。與之相應的一套數(shù)學理論和物理解釋便形成了今天大家看到和聽到的“混沌理論”，它描述了各種自然和人造系統(tǒng)中的“蝴蝶效應”即對初始條件高度敏感的動態(tài)特性，以及由此衍生出來的許許多多生動復雜的變化和現(xiàn)象。

二、“混沌”科學的發(fā)展

洛倫茨關于大氣變化的數(shù)學模型是由微分方程來描寫的，在數(shù)學上叫做“連續(xù)時間系統(tǒng)”:

其中x, y, z是變量。這個特別的連續(xù)時間系統(tǒng)就是上面介紹洛倫茨做仿真時使用的數(shù)學模型，后人稱之為洛倫茨系統(tǒng)。相應地，也有“離散時間系統(tǒng)”，由差分方程來描述。這些方程都是非線性的。

1975年，馬里蘭大學的數(shù)學家李天巖（Tien-Yien Li，1945-2020）和詹姆斯·約克（James A. Yorke，1941-）發(fā)表了一篇離散時間系統(tǒng)的論文，題為“周期三意味著混沌”，首次使用“混沌”這個名詞并以嚴格的數(shù)學論證來描述了“蝴蝶效應”。接著，1976年，他們的好友、普林斯頓大學的生物學家羅伯特·梅（Robert M. May, 1936-2020）在《自然》雜志上發(fā)表了一篇論文，作為對生態(tài)系統(tǒng)的刻畫給出了一個貌似簡單但行為復雜的離散混沌系統(tǒng)的例子，由名為 Logistic系統(tǒng)的差分方程模型來描述。

圖3 約克-李天巖-梅（James A. Yorke，Tien-Yien Li，Robert M. May）

大家在中學都學過代數(shù)二項式，例如4x(1-x)，其中x是個變量，它導出了離散差分方程x[k+1]=4x[k](1-x[k])，其中x[k]是x在離散時間點k上的取值，k=0, 1, 2…。這就是羅伯特·梅的例子，它能夠清晰地表達“蝴蝶效應”，如圖4所示。

圖4 Logistic差分方程對初始條件的高度敏感性

這個Logistic差分方程描述了許多離散混沌現(xiàn)象，其中最為有趣的就是，它有周期為3的解，從而如李天巖-約克的“周期三意味著混沌”論文所證，還有無窮多個各種周期的解，因此它的行為表現(xiàn)得很“混沌”。簡而言之，有“三”就會有“全部”。

大家也許會想起中國的老子（約公元前600-470年）在《道德經》四十二章中說的：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，指從“無名道化”(零)開始，先有“混沌元氣”(一)，然后有“陰陽二氣”(二)，接著這“陰陽之和”(三)，便生出了“世間萬物”。兩者應該只是巧合，不過其中的哲理則是相通的。

至此，可以歸納一下“混沌”的概念和含義。粗略地說，“混沌”是很多自然和社會系統(tǒng)的一種不尋常的性態(tài)和特征，它最基本的特性是對初始條件的高度敏感性，即“蝴蝶效應”。此外，它表現(xiàn)為局部活躍（不收斂）、全局有界（不發(fā)散）、非嚴格周期（無窮多個周期組份的復合）的運動狀態(tài)。具體一點來說，混沌系統(tǒng)是局部不穩(wěn)定的，即不會收斂到一個地方然后就不動了；它又是全局穩(wěn)定的，即不會發(fā)散到無窮遠處而消失了；它還在近乎周期卻不是嚴格周期地變化，猶如一年四季周而復始但每年都會有一些差異那樣。混沌形態(tài)的本質是確定性的但卻貌似隨機，就象天氣預報那樣是長時間不可預測的。

三、“混沌”科學的應用

科學的任務是解釋自然世界，技術的目標才是為人類社會服務?！盎煦纭敝饕且婚T科學，揭示自然界和人類社會中的某些內在規(guī)律，讓我們更加明白自身之外的事物發(fā)展變化的原因和過程，進而幫助我們去發(fā)展先進技術以改良世界為人類服務。和其它學科一樣，“混沌”理論在演進的過程中也逐步被利用來發(fā)展一些有用的技術。

比較容易理解的是流體混合和信息隱藏。不妨想象一下，要把兩種不同的溶液充分均勻地混合在一起，“混沌”的攪拌效果總比均勻的攪拌要好，大家在日常生活中攪拌飲料就很有體會。至于信息隱藏，圖5展示了一個簡單例子，左邊李兆良先生的書法圖片通過“混沌”技術打亂了以后成為右邊的樣子，原來的信息就很難辨認了。主人自己知道是怎樣處理的，當然可以還原，但其他人就無法把原圖重構出來。