一部部科學(xué)經(jīng)典著作，猶如人類(lèi)文明史上璀璨的里程碑，奠定了現(xiàn)代科學(xué)基石，鋪就了人類(lèi)進(jìn)步的階梯。今天，讓我們一起走近《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》，了解這部著作如何以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系為現(xiàn)代幾何奠基，以及希爾伯特的數(shù)學(xué)思想如何持續(xù)滋養(yǎng)著后世的探索。

1900年，在巴黎舉行的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特作了一次數(shù)學(xué)史上影響深遠(yuǎn)的演講，題目是“數(shù)學(xué)問(wèn)題”。

在演講中，希爾伯特列舉了23個(gè)他認(rèn)為具有重要意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題被后人稱(chēng)為“希爾伯特問(wèn)題”。解決希爾伯特問(wèn)題成了許多數(shù)學(xué)家終生奮斗的目標(biāo)，在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，源源不斷地產(chǎn)生出的“金蛋”為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展注入了極大的生機(jī)。

希爾伯特 圖片來(lái)源：“科學(xué)元典”公眾號(hào)

什么是希爾伯特第十問(wèn)題

希爾伯特第十問(wèn)題是一個(gè)與解方程有關(guān)的問(wèn)題。在中學(xué)時(shí)我們就解過(guò)許多簡(jiǎn)單的方程，比如2x－2y＝1，x2＋y2＝z2。這兩個(gè)簡(jiǎn)單方程有一個(gè)共同特點(diǎn)，只包含未知數(shù)的整數(shù)次冪，系數(shù)也都是整數(shù)，這類(lèi)方程被稱(chēng)為整系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式方程。數(shù)學(xué)家們對(duì)這類(lèi)方程的研究有著漫長(zhǎng)的歷史。

公元3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）發(fā)表了一部長(zhǎng)篇巨著《算術(shù)》。這部13卷的著作，經(jīng)過(guò)1700多年的漫長(zhǎng)歲月，流傳至今的只有6卷。丟番圖在這部著作中對(duì)整系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式方程進(jìn)行的大量研究，對(duì)代數(shù)與數(shù)論的發(fā)展有著先驅(qū)性的貢獻(xiàn)。后人為紀(jì)念他，把整系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式方程稱(chēng)為丟番圖方程（Diophantus Equation）。

對(duì)于丟番圖方程，數(shù)學(xué)家們最感興趣的是它是否有整數(shù)解（或自然數(shù)解）。對(duì)于簡(jiǎn)單的方程這是很容易找到答案的，比如x2＋y2＝z2有整數(shù)解（早在3000多年前，我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家就知道這個(gè)方程的一組解：即勾三股四弦五）；2x－2y＝1則沒(méi)有整數(shù)解（因?yàn)榉匠痰淖筮厼榕紨?shù)，右邊卻為奇數(shù)）。但對(duì)于一般的丟番圖方程來(lái)說(shuō)，判斷它是否有整數(shù)解卻是件極困難的事，其中最例子就是費(fèi)馬猜想，即xn＋yn＝zn在n＞2時(shí)沒(méi)有非零整數(shù)解，直到300多年后才得到證明。

長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)丟番圖方程是否有整數(shù)解的研究都是針對(duì)特定形式的丟番圖方程進(jìn)行的。有沒(méi)有辦法對(duì)一般的丟番圖方程是否有整數(shù)解進(jìn)行研究呢？或者，是否可以找到一種普遍的算法，用來(lái)判定一個(gè)任意的丟番圖方程是否有整數(shù)解，從而一勞永逸地解決這類(lèi)問(wèn)題呢？這便是希爾伯特第十問(wèn)題。這樣的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為判定問(wèn)題（Decision Problem），因?yàn)樗鼘で蟮氖菍?duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行判定的算法。

希爾伯特是一位對(duì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)樂(lè)觀信念的數(shù)學(xué)家。他提出這一問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有用“是否存在這樣的算法”作為問(wèn)題的表述，而是直接要求數(shù)學(xué)家們尋找這樣的算法，可見(jiàn)他對(duì)存在一個(gè)肯定的答案懷有期待。這種期待與他在其他方面對(duì)數(shù)學(xué)的樂(lè)觀看法一脈相承。

不可判定命題的啟示

希爾伯特第十問(wèn)題要求尋找判定丟番圖方程是否有解的算法。究竟是什么算法呢？當(dāng)時(shí)沒(méi)有明確的定義。這一困難使希爾伯特第十問(wèn)題在提出后整整30年沒(méi)有取得任何實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。

直到20世紀(jì)30年代，對(duì)算法的研究才逐漸深入。

數(shù)學(xué)上，算法（通過(guò)有限多的步驟）是對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行有效計(jì)算的方法。因此算法研究的一個(gè)重要的切入點(diǎn)，是尋找可以有效計(jì)算的函數(shù)。到底什么樣的函數(shù)是可以有效計(jì)算的呢？數(shù)學(xué)家們開(kāi)始并沒(méi)有普遍的結(jié)論，只知道一些最簡(jiǎn)單的函數(shù)，以及用這些函數(shù)通過(guò)若干簡(jiǎn)單規(guī)則組合出的函數(shù)是可以有效計(jì)算的。數(shù)學(xué)家們把這類(lèi)函數(shù)叫作遞歸函數(shù)（Recursive Function）。

1931年，年輕的法國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾布蘭德（Jacques Herbrand，）對(duì)遞歸函數(shù)進(jìn)行了研究，并給邏輯學(xué)家哥德?tīng)枺↘urt Gdel）寫(xiě)信敘述了自己的研究結(jié)果。哥德?tīng)柈?dāng)時(shí)正處于自己一生中最重大的成果——哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼难芯繒r(shí)期，沒(méi)有立即對(duì)赫爾布蘭德的工作做出回應(yīng)。那一年的夏天，年僅23歲的赫爾布蘭德在攀登阿爾卑斯山時(shí)不幸遇難，他的工作因此被暫時(shí)埋沒(méi)了。

與赫爾布蘭德的研究差不多同時(shí)，20世紀(jì)30年代初，普林斯頓大學(xué)的美國(guó)邏輯學(xué)家丘奇（Alonzo Church）也在積極從事邏輯及算法的研究，并且發(fā)展出了一種新的邏輯體系。他讓自己的兩個(gè)學(xué)生克林（Stephen Kleene）與羅瑟（John Rosser）對(duì)這一體系做細(xì)致的研究。他們的研究很快就有了結(jié)果，但這結(jié)果大大出乎丘奇的意料。他們發(fā)現(xiàn)丘奇的那套體系竟然是自相矛盾的。命運(yùn)似乎只有一個(gè)：放棄。幸運(yùn)的是，丘奇的那套體系中有一個(gè)組成部分是自洽的，因此可以保留下來(lái)，這部分叫作蘭姆達(dá)運(yùn)算（λ－calculus）。

這種蘭姆達(dá)運(yùn)算可以用來(lái)定義函數(shù)，而所有用蘭姆達(dá)運(yùn)算定義的函數(shù)都是可以有效計(jì)算的。在對(duì)蘭姆達(dá)運(yùn)算做了研究之后，丘奇提出了一個(gè)大膽的猜測(cè)，他猜測(cè)所有可以有效計(jì)算的函數(shù)都可以用蘭姆達(dá)運(yùn)算來(lái)定義。

1934年，丘奇向到普林斯頓大學(xué)訪問(wèn)的哥德?tīng)柦榻B了這一猜測(cè)，哥德?tīng)枀s不以為然。丘奇不服氣，請(qǐng)哥德?tīng)柦o出一個(gè)他認(rèn)為合適的描述。一兩個(gè)月后，哥德?tīng)柧徒o出了一種完全不同的描述，這種描述的基礎(chǔ)正是三年前赫爾布蘭德在給他的信中敘述的結(jié)果。哥德?tīng)枌?duì)這一結(jié)果進(jìn)行了完善，這一結(jié)果被人們稱(chēng)為赫爾布蘭德－哥德?tīng)栠f歸函數(shù)。

這樣，丘奇與哥德?tīng)柛髯越o出了一種體系，描述可以有效計(jì)算的函數(shù)。丘奇與克林很快證明，這兩種看上去完全不同的描述方式實(shí)際上是彼此等價(jià)的。兩位邏輯學(xué)家的工作殊途同歸，大大增強(qiáng)了丘奇的信心。他相信人們已經(jīng)找到了可以有效計(jì)算的函數(shù)的普遍定義。但哥德?tīng)柤捌渌恍┤藢?duì)此卻仍然懷有疑慮。最終打消這種疑慮的是英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈（Alan Turing）。

圖靈當(dāng)時(shí)對(duì)丘奇及哥德?tīng)栐谶@方面的研究并不知情。他所研究的課題是什么樣的運(yùn)算可以用機(jī)器來(lái)實(shí)現(xiàn)。他的這一研究對(duì)后來(lái)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響。在圖靈的研究接近完成的時(shí)候，他的導(dǎo)師注意到了丘奇與哥德?tīng)柕墓ぷ?。于是圖靈對(duì)彼此的工作進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)丘奇與哥德?tīng)査x的那些函數(shù)與他的抽象計(jì)算機(jī)可以計(jì)算的函數(shù)恰好吻合！圖靈把這一結(jié)果作為附錄加進(jìn)了自己的論文。這下就連哥德?tīng)栆残膼傉\(chéng)服了，畢竟，有什么能比在計(jì)算機(jī)上計(jì)算更接近“可以有效計(jì)算”以及算法的基本含義呢？

在這些有關(guān)算法的研究中，數(shù)學(xué)家們還提出了一個(gè)重要的概念：遞歸可枚舉集（Recursively Enumerable Set），即由可以有效計(jì)算的函數(shù)所生成的自然數(shù)的集合。對(duì)于一個(gè)集合來(lái)說(shuō)，一個(gè)很基本的問(wèn)題就是判斷一個(gè)元素是否屬于該集合。遞歸可枚舉集也不例外。當(dāng)數(shù)學(xué)家們研究遞歸可枚舉集的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)十分微妙的結(jié)果：對(duì)于某些遞歸可枚舉集來(lái)說(shuō)，我們無(wú)法判定一個(gè)自然數(shù)是否屬于該集合。換句話說(shuō)，有一些遞歸可枚舉集是不可判定的。這一結(jié)果把對(duì)算法的研究與判定問(wèn)題聯(lián)系了起來(lái)，為后來(lái)解決希爾伯特第十問(wèn)題埋下了重要的伏筆。

這一系列結(jié)果出現(xiàn)在1936-1937年間。那時(shí)候，在數(shù)學(xué)中存在無(wú)法判定的命題已經(jīng)不是一件新鮮事了。早在五年前，哥德?tīng)柧鸵呀?jīng)證明了他的不完全性定理，即任何足夠復(fù)雜并且自洽的數(shù)學(xué)體系都必定包含不可判定的命題。當(dāng)時(shí)已知的不可判定命題大都集中在邏輯領(lǐng)域內(nèi)。在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域中，究竟哪些命題是不可判定的呢？這個(gè)問(wèn)題在整整10年之后才開(kāi)始有答案。

1947年，美國(guó)數(shù)學(xué)家波斯特（Emil Post）找到了第一個(gè)邏輯領(lǐng)域以外的不可判定命題。波斯特是一位有著深刻洞察力的邏輯學(xué)家，7歲時(shí)隨父母從波蘭移民到美國(guó)，是美國(guó)邏輯學(xué)的先驅(qū)之一。他早在近十年前就得到了與哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硐嗨频慕Y(jié)果，由于想對(duì)結(jié)果作更全面的分析而沒(méi)有及時(shí)發(fā)表。1936年，幾乎與哥德?tīng)枴⑶鹌婕皥D靈同時(shí)，波斯特獨(dú)立提出了類(lèi)似于圖靈的結(jié)果，他也是最早意識(shí)到希爾伯特第十問(wèn)題可能會(huì)有否定答案的數(shù)學(xué)家之一。1944年，他在一篇文章中明確提出希爾伯特第十問(wèn)題“期待一個(gè)不可解性證明”。當(dāng)時(shí)波斯特在紐約市立大學(xué)任教，他的這一觀點(diǎn)深深打動(dòng)了一位學(xué)生，使后者走上了畢生鉆研希爾伯特第十問(wèn)題的征途。這位學(xué)生名叫戴維斯（Martin Davis），是解決希爾伯特第十問(wèn)題的關(guān)鍵人物。

戴維斯的努力

戴維斯的父母從波蘭移民美國(guó)，戴維斯本人則出生在紐約。1944-1948年間，戴維斯在紐約市立大學(xué)學(xué)習(xí)，波斯特對(duì)希爾伯特第十問(wèn)題期待一個(gè)否定答案的看法，用戴維斯本人的話說(shuō)是開(kāi)始了他“對(duì)這一問(wèn)題的終身迷戀”。從紐約市立大學(xué)畢業(yè)后，戴維斯來(lái)到了美國(guó)邏輯學(xué)的中心普林斯頓大學(xué)，跟隨丘奇從事進(jìn)一步的研究。

戴維斯在普林斯頓大學(xué)研究的是一個(gè)冷門(mén)的課題，對(duì)于研究生來(lái)說(shuō)，研究這樣的課題最容易出成果。但戴維斯無(wú)法抵御希爾伯特第十問(wèn)題的魅力，在研究自己課題的同時(shí)，分出精力繼續(xù)思考希爾伯特第十問(wèn)題。

他甚至在博士論文上特意增添了一個(gè)章節(jié)，敘述了自己在希爾伯特第十問(wèn)題上“不務(wù)正業(yè)”的結(jié)果，那是在1950年。這一增添的章節(jié)使戴維斯的那篇原本會(huì)像多數(shù)研究生一樣被人遺忘的博士論文名垂史冊(cè)。三年后，戴維斯發(fā)表了一篇更詳細(xì)的論述。他的這一工作標(biāo)志著數(shù)學(xué)家們正式開(kāi)始解決希爾伯特第十問(wèn)題。

戴維斯在他的研究中引進(jìn)及運(yùn)用了一個(gè)重要的概念——丟番圖集（Diophantus Set）。和上面提到的遞歸可枚舉集一樣，丟番圖集也是一些由自然數(shù)組成的集合。不同的是，遞歸可枚舉集是由可以有效計(jì)算的函數(shù)生成的，丟番圖集則是通過(guò)丟番圖方程生成的。戴維斯的重要發(fā)現(xiàn)就在于找到了這兩類(lèi)集合之間的一種關(guān)聯(lián)。

這兩類(lèi)集合之間的關(guān)聯(lián)之所以重要，是因?yàn)樘热粝柌氐谑畣?wèn)題具有肯定的答案，即存在一個(gè)算法來(lái)判定丟番圖方程是否有解，那么我們就可以用這一算法來(lái)確定一個(gè)自然數(shù)是否屬于某個(gè)丟番圖集，這表明所有丟番圖集都是可判定的。反之，倘若我們可以證明某些丟番圖集是不可判定的，也就證明了希爾伯特第十問(wèn)題具有否定的答案，而這正是戴維斯想要做的。

證明某些丟番圖集是不可判定的，最好的辦法就是設(shè)法把它與某一類(lèi)已經(jīng)知道是不可判定的集合聯(lián)系在一起，遞歸可枚舉集就正是這樣的一個(gè)角色。如果有人可以證明所有的遞歸可枚舉集都是丟番圖集，也就等于證明了某些丟番圖集是不可判定的，從而也就完成了對(duì)希爾伯特第十問(wèn)題的否定解決。

不幸的是，在戴維斯找到的關(guān)聯(lián)中用到了一個(gè)被稱(chēng)為有界全稱(chēng)量詞（Bounded Universal Quantifier）的邏輯算符。如果沒(méi)有這個(gè)有界全稱(chēng)量詞，他就可以證明所有的遞歸可枚舉集都是丟番圖集，大功也就告成了?？墒菙?shù)學(xué)證明是差不得分毫的，因?yàn)橛辛诉@個(gè)有界全稱(chēng)量詞，戴維斯的邏輯鏈條中斷了。盡管如此，戴維斯仍然相信所有的遞歸可枚舉集都是丟番圖集，他把這一點(diǎn)作為一個(gè)猜測(cè)提了出來(lái)。在當(dāng)時(shí)，這是一個(gè)很大膽的猜測(cè)。

要證明戴維斯的猜測(cè)，關(guān)鍵得把那個(gè)有界全稱(chēng)量詞去掉，這是件非常困難的事。直到9年以后的1959年，戴維斯才在與哲學(xué)家普特南（Hilary Putnam）的合作中有條件地做到了這一點(diǎn)。做到這一點(diǎn)所付出的代價(jià)是不得不引進(jìn)兩條額外的假設(shè)。

初看起來(lái)，這像是不進(jìn)反退，原本只有一個(gè)麻煩，現(xiàn)在反而變成了兩個(gè)。但數(shù)學(xué)假設(shè)的證明難度不是用數(shù)量來(lái)衡量的，戴維斯與普特南所引進(jìn)的那兩條額外假設(shè)比那個(gè)有界全稱(chēng)量詞來(lái)得具體，因而處理起來(lái)要容易一些。

在發(fā)表這一研究的全文之前，戴維斯與普特南決定聽(tīng)一聽(tīng)研究希爾伯特第十問(wèn)題的另一位重要人物羅賓遜夫人（Julia Robinson）的看法，他們把結(jié)果寄給了羅賓遜夫人。這一寄揭開(kāi)了一段新的合作，把他們的結(jié)果又大大向前推進(jìn)了一步。

羅賓遜猜想——距解決只剩一步之遙

羅賓遜夫人是數(shù)學(xué)界少有的女?dāng)?shù)學(xué)家之一。與其他女?dāng)?shù)學(xué)家一樣，她一生在追求學(xué)術(shù)的過(guò)程中遇到過(guò)許多坎坷。這些坎坷既有來(lái)自社會(huì)的，也有生活上的不幸。羅賓遜夫人幼年時(shí)屢患疾病，導(dǎo)致身體虛弱，無(wú)法生育，這一點(diǎn)曾使酷愛(ài)家庭的她陷入極度的痛苦之中。后來(lái)，在她同為數(shù)學(xué)家的丈夫的引導(dǎo)下，數(shù)學(xué)的力量讓她漸漸擺脫了痛苦的陰影。

羅賓遜夫人的丈夫早年曾是她的數(shù)論教授，幫助她打下了非常扎實(shí)的數(shù)論基礎(chǔ)。羅賓遜夫人自1948年起開(kāi)始研究希爾伯特第十問(wèn)題，并曾經(jīng)與戴維斯有過(guò)交流。當(dāng)她收到戴維斯與普特南寄來(lái)的結(jié)果時(shí)，憑借自己的數(shù)論功底很快發(fā)現(xiàn)，他們所作的兩個(gè)假設(shè)中有一個(gè)可以去掉，同時(shí)整個(gè)證明也可以有極大的簡(jiǎn)化。1961年，戴維斯、普特南及羅賓遜夫人合作發(fā)表了這一簡(jiǎn)化后的結(jié)果。這一結(jié)果是戴維斯、普特南的邏輯技巧與羅賓遜夫人的數(shù)論功底的完美結(jié)合，也是希爾伯特第十問(wèn)題研究中的又一個(gè)重要的進(jìn)展。

但是在戴維斯與普特南所作的兩個(gè)假設(shè)中，仍有一個(gè)連羅賓遜夫人也無(wú)法去除。那便是在他們的結(jié)果中用到了一種被稱(chēng)為“指數(shù)丟番圖集”的集合，這種集合類(lèi)似于丟番圖集，但涉及指數(shù)函數(shù)。倘若有人可以證明“指數(shù)丟番圖集”實(shí)際上就是丟番圖集，那么戴維斯、普特南及羅賓遜夫人的工作就完全了，希爾伯特第十問(wèn)題也就被證明具有否定的答案了。但“指數(shù)丟番圖集”究竟是不是丟番圖集卻困住了這三個(gè)人。

對(duì)羅賓遜夫人而言，“指數(shù)丟番圖集”其實(shí)并不陌生。早在1948年，她剛剛涉足希爾伯特第十問(wèn)題的時(shí)候，就研究過(guò)由邏輯學(xué)家塔爾斯基（Alfred Tarski）提出的一個(gè)猜測(cè)。這一猜測(cè)認(rèn)為“指數(shù)丟番圖集”不是丟番圖集。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的研究后，羅賓遜夫人開(kāi)始懷疑塔爾斯基的猜測(cè)，因?yàn)樗也坏饺魏巫C據(jù)可以支持這一猜測(cè)，于是轉(zhuǎn)而猜測(cè)與塔爾斯基猜測(cè)相反的命題，即“指數(shù)丟番圖集”實(shí)際上就是丟番圖集，這個(gè)命題被稱(chēng)為羅賓遜猜想。這也正是戴維斯、普特南及羅賓遜夫人1961年的工作中唯一缺失的環(huán)節(jié)。他們距離希爾伯特第十問(wèn)題的解決只剩下一步之遙，但這一步卻難如登天。

在羅賓遜夫人沉醉于希爾伯特第十問(wèn)題的那些年里，幼年患病所留下的后遺癥一再困擾著她。當(dāng)年的一位醫(yī)生甚至預(yù)言她的心臟機(jī)能受損嚴(yán)重，也許活不過(guò)40歲。這一預(yù)測(cè)雖然很幸運(yùn)地由于后來(lái)的一次成功的心臟手術(shù)而沒(méi)有成為事實(shí)，但每一年的生日，羅賓遜夫人都要在吹熄蠟燭的時(shí)候許愿，希望能夠看到希爾伯特第十問(wèn)題的解決。無(wú)論誰(shuí)來(lái)解決都可以，但一定要在她有生之年解決?！拔覠o(wú)法忍受在不知道答案的情況下離開(kāi)人世?！边@是羅賓遜夫人的話。

時(shí)光一年年流逝，羅賓遜夫人的愿望一次次落空。那手握最后一把鑰匙的人究竟在哪里呢？

那個(gè)時(shí)候，戴維斯也常常被人問(wèn)到這一問(wèn)題。當(dāng)時(shí)正是冷戰(zhàn)時(shí)期，對(duì)美國(guó)人來(lái)說(shuō)世界上最遙遠(yuǎn)的地方莫過(guò)于蘇聯(lián)。戴維斯調(diào)侃地回答：“那會(huì)是一位聰明的蘇聯(lián)年輕人?！彼f(shuō)對(duì)了！一個(gè)名叫馬蒂亞塞維奇（Yuri Matiyasevich）的蘇聯(lián)年輕人將從世界的另一端走上數(shù)學(xué)舞臺(tái)。

馬蒂亞塞維奇

——為智慧鏈條扣上最后一環(huán)的人

馬蒂亞塞維奇，1947年出生在俄羅斯圣彼得堡（當(dāng)時(shí)稱(chēng)列寧格勒），12歲時(shí)父親去世。憑借優(yōu)異的成績(jī)，家境貧寒的馬蒂亞塞維奇在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中脫穎而出，獲得了各種教育機(jī)會(huì)。1965年，在他念本科的時(shí)候，他的導(dǎo)師馬斯洛夫（S. Yu. Maslov）建議他證明丟番圖方程的不可判定性。

馬斯洛夫輕描淡寫(xiě)地說(shuō)：“這個(gè)問(wèn)題也被稱(chēng)為希爾伯特第十問(wèn)題，但你不必理會(huì)這個(gè)?！瘪R蒂亞塞維奇表示他對(duì)研究這類(lèi)不可解問(wèn)題沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，馬斯洛夫補(bǔ)充道：不可解問(wèn)題沒(méi)什么大不了的，無(wú)非就是把它約化成一個(gè)已知是不可解的其他問(wèn)題。他還告訴馬蒂亞塞維奇，有幾個(gè)美國(guó)人曾做過(guò)一些研究，但不必理會(huì)那些研究，因?yàn)樗鼈儭昂芸赡苁遣怀渥愕摹薄?/p>

馬蒂亞塞維奇的研究開(kāi)始并不順利，他曾一度以為自己已經(jīng)解決了問(wèn)題，甚至開(kāi)始準(zhǔn)備作報(bào)告了，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)自己犯了一個(gè)錯(cuò)誤。一段時(shí)間的徒勞無(wú)功之后，他開(kāi)始閱讀“幾個(gè)美國(guó)人”的“很可能是不充足的”研究成果，但依然沒(méi)有獲得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。隨著畢業(yè)時(shí)間的臨近，他只好把這個(gè)問(wèn)題放在了一邊。

1969年，頑強(qiáng)的羅賓遜夫人又向希爾伯特第十問(wèn)題做了一次沖擊。雖然這一次仍然沒(méi)有成功，但她為證明羅賓遜猜想提出了一條非常巧妙的思路。羅賓遜夫人的結(jié)果發(fā)表后，很快有同事把這一消息告訴了馬蒂亞塞維奇。這時(shí)的馬蒂亞塞維奇已決定不再把時(shí)間浪費(fèi)在希爾伯特第十問(wèn)題上了，于是沒(méi)有理會(huì)。事情接下來(lái)的發(fā)展極富戲劇性，用馬蒂亞塞維奇自己的話說(shuō)：“在數(shù)學(xué)天堂的某個(gè)角落里，必定存在著一位數(shù)學(xué)之神，不想讓我錯(cuò)過(guò)羅賓遜夫人的新論文?！庇捎谒饲皩?duì)希爾伯特第十問(wèn)題的研究，蘇聯(lián)的一份數(shù)學(xué)評(píng)論雜志把羅賓遜夫人的論文寄給了他，讓他加以評(píng)論。這一看，馬蒂亞塞維奇立即被羅賓遜夫人的思路吸引住了，他重新投入到希爾伯特第十問(wèn)題的研究上來(lái)。

接下來(lái)的幾個(gè)月，馬蒂亞塞維奇一直在思索羅賓遜猜想。1969年的除夕派對(duì)上，馬蒂亞塞維奇由于過(guò)分專(zhuān)注，走的時(shí)候竟然錯(cuò)穿了他叔叔的衣服。全神貫注的投入終于讓他獲得了巨大的成功。1970年新年過(guò)后第四天，馬蒂亞塞維奇成功地證明了羅賓遜猜想，從而一舉解決了希爾伯特第十問(wèn)題。有了幾年前誤以為解決希爾伯特第十問(wèn)題的教訓(xùn)，這次他把文章交給了馬斯洛夫及另一位數(shù)學(xué)家栗弗席茨（Vladimir Lifshits），請(qǐng)他們檢驗(yàn)，自己攜未婚妻出外滑雪度假。兩個(gè)星期后當(dāng)他回到學(xué)校，一切都變了。他的論文經(jīng)受住了以眼光犀利著稱(chēng)的數(shù)學(xué)家法蒂夫（D. K. Faddeev）與馬爾科夫（A. A. Markov）的檢驗(yàn)，他成為希爾伯特第十問(wèn)題的解決者。

1月29日，馬蒂亞塞維奇作了有關(guān)他研究成果的第一次公開(kāi)演講。那次演講中的一位聽(tīng)眾把這一成果帶到了不久之后在西伯利亞諾沃斯比爾斯克（Novosibirsk）舉行的一次數(shù)學(xué)會(huì)議上，會(huì)議的出席者中恰好有一位羅賓遜夫人的同事。就這樣，馬蒂亞塞維奇解決希爾伯特第十問(wèn)題的消息很快傳遍了數(shù)學(xué)界。當(dāng)時(shí)馬蒂亞塞維奇還不滿(mǎn)23歲，正是一位“聰明的蘇聯(lián)年輕人”。

2月15日，羅賓遜夫人接到同事的電話，告知她這一消息。那一年的生日，當(dāng)羅賓遜夫人將吹熄生日蠟燭時(shí)，她停了下來(lái)，忽然意識(shí)到自己許了這么多年的愿望已經(jīng)成為了現(xiàn)實(shí)，那是一種美妙的感覺(jué)。雖然她曾經(jīng)那么接近答案，卻還是失之交臂，但她沒(méi)有覺(jué)得遺憾。對(duì)羅賓遜夫人來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)真理的欣賞遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了任何個(gè)人的榮譽(yù)。

她在給馬蒂亞塞維奇的祝賀信中這樣寫(xiě)道：“讓我特別高興的是，當(dāng)我想到我最初提出那個(gè)猜想的時(shí)候，你還是個(gè)孩子，而我不得不等待你的長(zhǎng)大?！?/p>

戴維斯也非常興奮，他在自己的經(jīng)典著作《可計(jì)算性與不可解性》的平裝本序言中寫(xiě)道：“我一生最大的快樂(lè)之一是1970年2月讀到馬蒂亞塞維奇的工作?！蹦贻p的馬蒂亞塞維奇同樣對(duì)戴維斯、羅賓遜夫人以及在解決希爾伯特第十問(wèn)題的漫長(zhǎng)征途中作出貢獻(xiàn)的所有前輩數(shù)學(xué)家表達(dá)了深深的敬意。

在二十世紀(jì)六七十年代那個(gè)寒冷的冬天里，這些第一流的數(shù)學(xué)家們以他們的探索精神劃開(kāi)了冰層，讓世人看到了科學(xué)的偉大人文力量。按照羅賓遜夫人的說(shuō)法，這是一種存在于科學(xué)家心中的觀念，它跨越地理、種族、性別、年齡甚至?xí)r代而存在，過(guò)去、現(xiàn)在及未來(lái)的所有數(shù)學(xué)家們彼此都是同事，他們獻(xiàn)身于一個(gè)共同的目標(biāo)，那便是最美麗的科學(xué)與藝術(shù)。

科學(xué)經(jīng)典推薦

《希爾伯特幾何基礎(chǔ) 》

【德】希爾伯特 著

江澤涵、朱鼎勛 譯

本書(shū)中的研究，是重新嘗試著來(lái)替幾何建立一個(gè)完備的，而又盡可能簡(jiǎn)單的公理系統(tǒng)；要根據(jù)這個(gè)系統(tǒng)推證最重要的幾何定理，同時(shí)還要使我們的推證能明顯地表出各類(lèi)公理的含義和個(gè)別公理的推論的含義。

來(lái)源：“科學(xué)元典”公眾號(hào)