2026年1月1日，新年第一天，國際數學界就見證了一項新突破。當天，作為數學界公認的四大頂刊之一，《數學年刊》上線了2026年首期內容，其中一篇論文直接給出了特定條件下“戈德菲爾德（Goldfeld）猜想”的首個實例。

這篇論文，由中國科學院院士、中國科學院數學與系統(tǒng)科學研究院研究員田野與合作者共同完成，在正式上刊之前，單是審稿就經歷了整整6年時間。而田野在數學之路上，已經攀登了不止一個6年。

田野院士

同余數是個好問題

1979年，美國數學家戈德菲爾德提出了一個重要的猜想。他預測，在有理數域上的橢圓曲線二次扭曲線族中，其關聯(lián)的L函數在s=1處，有一半的解析階為0，另一半的解析階為1。而對于與同余數問題相關的橢圓曲線族，該猜想有更具體的偶校驗與奇校驗版本，例如：對于滿足特定同余條件的無平方因子正整數集合來說，其關聯(lián)橢圓曲線的L函數在s=1處階為0（偶校驗）或為1（奇校驗）的比例為100%。

然而，40多年來，對于戈德菲爾德的預測，數學界一直沒有找到對應的實例。直到田野與加州理工學院教授阿沙伊·A·布倫加勒（Ashay A.Burungale）打破了這一僵局。他們于2019年12月向《數學年刊》投稿，直到2025年10月才被正式接收。而他們的研究為理解橢圓曲線的深層結構提供了新工具。同時，這也是兩人繼2019年在《數學新進展》證明橢圓曲線“逆定理”一種情形后的又一突破。

將田野與戈德菲爾德連接在一起的，還有一個重要的關鍵詞——同余數。同余數問題起源于公元972年阿拉伯手稿對有理數等差數列公差的研究，可以簡單理解為：一個正整數n何時能成為一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差。千百年來，為了尋求判定自然數是否為同余數的法則，一代代數學家前赴后繼。13世紀，意大利數學家斐波那契指出5和7是同余數，1、2、3則不是，但始終未能給出證明。直到400年后，17世紀中葉，法國數學家費馬將自己發(fā)明的無窮下降法引入同余數問題，才證明了1、2、3并非同余數。18世紀，瑞士數學家歐拉首次證明了7是同余數。下一次證明則發(fā)生在1952年。這一年，德國數學家黑格納提出，任意模8余5、7的素數和任意模4余3的素數的兩倍均為同余數。就這樣，同余數問題一直在時間的長河中緩慢前進。到2000年，美國克雷數學研究所公布著名的千禧年七大數學難題時，榜上有名的貝赫和斯維納通-戴爾猜想（BSD猜想）仍與同余數問題有著緊密的聯(lián)系。

“問題是數學的靈魂，好的問題是會下金蛋的雞，推動著數學的發(fā)展，也刺激著新的理論和思想的產生?！痹谔镆翱磥?，同余數就是這樣的好問題。2012年，他證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數的同余數，這在同余數問題上是一個里程碑式的突破，為解決BSD猜想提供了嶄新的思路。文章在《美國科學院院刊》發(fā)表后，被國際同行評價為“中國繼陳景潤之后最好的工作”。2013年，田野憑借這項工作獲得由國際數學聯(lián)盟和國際理論物理中心（ICTP）聯(lián)合頒發(fā)的拉馬努金獎。他也是第二位獲得該獎項的中國本土數學家。

田野獲得拉馬努金獎

把“冷板凳”坐熱

1994年暑期，數學家張壽武應邀回國到中國科學院數學研究所（現為中國科學院數學與系統(tǒng)科學研究院，簡稱“數學院”）演講，臺下坐著的聽眾里，有一位正是慕名前來的田野。彼時，他還在四川大學數學系讀研，尚不知道4年后，他會前往美國哥倫比亞大學讀博，導師恰好就是臺上那位張壽武教授。而從那場演講開始，他也與數學院結下了不解之緣。

2005年冬天，數學院邀請數論大師、劍橋大學教授約翰·亨利·科茨前來訪學，并為慶祝其60歲生日在北京舉辦了一場學術會議。正在加拿大麥吉爾大學從事博士后研究的田野，也回國參加了這場會議，并受邀作了報告。會議結束不久，田野就在一個傍晚接到了一通越洋電話。電話是楊樂院士打來的。楊樂院士是數學院整合組建后的首任院長，曾與丘成桐共同創(chuàng)建中國科學院晨興數學中心。在聽過田野前不久的報告后，楊樂對他極為欣賞，希望他能盡快回國，參與到“建設中國人自己的數學中心”工作中去。田野頓時熱血沸騰起來。

“在國外學習工作的幾年，我看到了我們和西方數學上的差距。但華羅庚先生曾說過‘數學是我先民所擅長的科學’，那為什么我們反而落后了呢？”田野幾乎當下就做了決定：我要回去！回到當年陳景潤、楊樂、張廣厚等前輩工作過的地方，在自己的國家從事基礎數學研究！

但是，這條路走起來并不容易。2006年回到數學院和晨興數學中心任職后，田野第一時間就迎來了一場談話。楊樂院士和王元院士叮囑他，要推動中國數學盡快與國際接軌，就要專注做有重大意義的問題，要有勇氣攻堅克難，不用追求發(fā)表論文。這番話，田野也確實聽了進去，并坐定“冷板凳”，埋首研究。直到6年后，他終于在BSD猜想上取得了重大突破，也迎來了他的榮譽——拉馬努金獎和晨興數學獎金獎。此后數年，田野始終靜心沉氣，厚積薄發(fā)。2021年，他主持的“同余數問題與L-函數的算術”項目被授予2020年度國家自然科學獎二等獎；他本人也被授予陳省身數學獎，并受邀在2022年國際數學家大會上作45分鐘報告。2023年，田野當選為中國科學院院士。

直到如今，田野都未對坐“冷板凳”的6年有過詳盡描述，在他看來，這種摸索階段是每個數學家都會經歷的。相對于公眾所想象的艱苦，他則認為這是他研究狀態(tài)上最愉快的6年，因為他找到了更感興趣、更能深入的研究領域。而發(fā)自內心的興趣是他研究數學的最大動力。

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